📚 原卷真题 · 精编解析
北京市2021年普通高中学业水平等级性考试 物理
物理
考试时间：90分钟满分：100分
考生须知
- 本试卷共8页，100分。考试时长90分钟。
- 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
- 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题
1．硼（B）中子俘获治疗是目前最先进的癌症治疗手段之一。治疗时先给病人注射一种含硼的药物，随后用中子照射，硼俘获中子后，产生高杀伤力的α粒子和锂（Li）离子。这个核反应的方程是
👩🏫 教师答案
【答案】A
【详解】
本题考查核反应方程。
A．¹⁰₅B + ¹₀n → ⁷₃Li + ⁴₂He，质量数 10+1=7+4、电荷数 5+0=3+2 均守恒，故A正确；
B．质量数或电荷数不守恒，故B错误；
C．不符合质量数守恒或电荷数守恒，故C错误；
D．不符合质量数守恒或电荷数守恒，故D错误。
本题考查核反应方程。
A．¹⁰₅B + ¹₀n → ⁷₃Li + ⁴₂He，质量数 10+1=7+4、电荷数 5+0=3+2 均守恒，故A正确；
B．质量数或电荷数不守恒，故B错误；
C．不符合质量数守恒或电荷数守恒，故C错误；
D．不符合质量数守恒或电荷数守恒，故D错误。
2．如图所示的平面内，光束a经圆心O射入半圆形玻璃砖，出射光为b、c两束单色光。下列说法正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】C
【详解】
本题考查光的折射。
A．光束a经玻璃砖分成b、c两束光，是折射（色散）现象，不是干涉，故A错误；
B．b光偏折程度更大，折射率更大、频率更大，由c=λf知波长更小，故B错误；
C．b光偏折程度比c光更大，玻璃砖对b光的折射率大于对c光，故C正确；
D．由n=c/v，折射率大的b光在玻璃砖中传播速度更小，故D错误。
本题考查光的折射。
A．光束a经玻璃砖分成b、c两束光，是折射（色散）现象，不是干涉，故A错误；
B．b光偏折程度更大，折射率更大、频率更大，由c=λf知波长更小，故B错误；
C．b光偏折程度比c光更大，玻璃砖对b光的折射率大于对c光，故C正确；
D．由n=c/v，折射率大的b光在玻璃砖中传播速度更小，故D错误。
3．一列简谐横波某时刻的波形图如图所示。此后K质点比L质点先回到平衡位置。下列判断正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】D
【详解】
本题考查简谐横波的传播。
A．K质点比L质点先回到平衡位置，K向平衡位置运动、L远离平衡位置，波沿x轴正方向传播，故A错误；
B．K质点此时向平衡位置（y轴负方向）运动，故B错误；
C．K更接近平衡位置，速度更大，故C错误；
D．K位移更小，加速度a=-kx/m更小，故D正确。
本题考查简谐横波的传播。
A．K质点比L质点先回到平衡位置，K向平衡位置运动、L远离平衡位置，波沿x轴正方向传播，故A错误；
B．K质点此时向平衡位置（y轴负方向）运动，故B错误；
C．K更接近平衡位置，速度更大，故C错误；
D．K位移更小，加速度a=-kx/m更小，故D正确。
4．比较45℃的热水和100℃的水蒸汽，下列说法正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】B
【详解】
本题考查分子热运动和内能。
A错误：温度是分子平均动能的标志，100℃水蒸汽的分子平均动能大于45℃热水。
B正确：相同质量的水蒸汽和热水，水蒸汽的温度高、分子势能大（汽化吸热），所以内能更大，热水内能更小。
C错误：分子速率分布是统计规律，不能说"都"小，只是平均速率小。
D错误：温度越高热运动越剧烈，水蒸汽的热运动更剧烈。
本题考查分子热运动和内能。
A错误：温度是分子平均动能的标志，100℃水蒸汽的分子平均动能大于45℃热水。
B正确：相同质量的水蒸汽和热水，水蒸汽的温度高、分子势能大（汽化吸热），所以内能更大，热水内能更小。
C错误：分子速率分布是统计规律，不能说"都"小，只是平均速率小。
D错误：温度越高热运动越剧烈，水蒸汽的热运动更剧烈。
5．一正弦式交变电流的i - t图像如图所示。下列说法正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】C
【详解】
本题考查交变电流。
A．周期T=0.4s，t=0.4s时电流处于正向最大值，并非方向改变时刻，故A错误；
B．该交变电流的周期为0.4s，不是0.5s，故B错误；
C．ω=2π/T=5π rad/s，且t=0时电流为最大值，表达式为 i=2cos(5πt) A，故C正确；
D．有效值I=Im/√2=√2 A，故D错误。
本题考查交变电流。
A．周期T=0.4s，t=0.4s时电流处于正向最大值，并非方向改变时刻，故A错误；
B．该交变电流的周期为0.4s，不是0.5s，故B错误；
C．ω=2π/T=5π rad/s，且t=0时电流为最大值，表达式为 i=2cos(5πt) A，故C正确；
D．有效值I=Im/√2=√2 A，故D错误。
6．2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×10² km、远火点距离火星表面5.9×10⁵ km，则“天问一号”
👩🏫 教师答案
【答案】D
【详解】
本题考查开普勒定律和椭圆轨道。
A错误：由a = GM/r²，近火点r小，加速度大。
B错误：由开普勒第二定律，近火点速度大。
C错误：在同一轨道上，机械能守恒，近火点和远火点机械能相等。
D正确：在近火点减速，使速度减小到该位置的圆周运动速度，可实现绕火星做圆周运动。
本题考查开普勒定律和椭圆轨道。
A错误：由a = GM/r²，近火点r小，加速度大。
B错误：由开普勒第二定律，近火点速度大。
C错误：在同一轨道上，机械能守恒，近火点和远火点机械能相等。
D正确：在近火点减速，使速度减小到该位置的圆周运动速度，可实现绕火星做圆周运动。
7．如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，水平U型导体框左端连接一阻值为R的电阻，质量为m、电阻为r的导体棒ab置于导体框上。不计导体框的电阻、导体棒与框间的摩擦。ab以水平向右的初速度v0开始运动，最终停在导体框上。在此过程中
👩🏫 教师答案
【答案】C
【详解】
本题考查电磁感应中的能量转化。
A错误：安培力F = B²L²v/(R+r)，随速度减小而减小，加速度减小，是变减速运动。
B错误：由右手定则，感应电流方向为b→a。
C正确：电阻R消耗的总电能等于动能减少量乘以R/(R+r)。
D错误：由动能定理，克服安培力做的功等于动能减少量。
本题考查电磁感应中的能量转化。
A错误：安培力F = B²L²v/(R+r)，随速度减小而减小，加速度减小，是变减速运动。
B错误：由右手定则，感应电流方向为b→a。
C正确：电阻R消耗的总电能等于动能减少量乘以R/(R+r)。
D错误：由动能定理，克服安培力做的功等于动能减少量。
8．如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】B
【详解】
本题考查功率。
A．汽车匀速运动，ab段牵引力恒定，功率P=Fv恒定，故A错误；
B．ab段（上坡）F=f+mgsinθ，功率较大；bc段（水平）F=f，功率较小，故B正确；
C．cd段（下坡）牵引力恒定，功率恒定，故C错误；
D．cd段F=f-mgsinθ，功率比bc段更小，故D错误。
本题考查功率。
A．汽车匀速运动，ab段牵引力恒定，功率P=Fv恒定，故A错误；
B．ab段（上坡）F=f+mgsinθ，功率较大；bc段（水平）F=f，功率较小，故B正确；
C．cd段（下坡）牵引力恒定，功率恒定，故C错误；
D．cd段F=f-mgsinθ，功率比bc段更小，故D错误。
9．如图所示的平面内，有静止的等量异号点电荷，M、N两点关于两电荷连线对称，M、P两点关于两电荷连线的中垂线对称。下列说法正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】C
【详解】
本题考查等量异号电荷的电场分布。
A．M、P关于两电荷连线的中垂线对称，场强大小相等，故A错误；
B．M、N关于两电荷连线对称，两点电势相等，故B错误；
C．由对称性可知，N点场强与P点场强相同，故C正确；
D．M、P关于中垂线对称，电势互为相反数，电子在两点电势能大小相等、符号相反，故D错误。
本题考查等量异号电荷的电场分布。
A．M、P关于两电荷连线的中垂线对称，场强大小相等，故A错误；
B．M、N关于两电荷连线对称，两点电势相等，故B错误；
C．由对称性可知，N点场强与P点场强相同，故C正确；
D．M、P关于中垂线对称，电势互为相反数，电子在两点电势能大小相等、符号相反，故D错误。
10．如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】D
【详解】
本题考查圆周运动和冲量。
A错误：圆盘转动时，摩擦力提供向心力，方向指向圆心，不是切线方向。
B错误：运动一圈，速度方向改变但大小不变，动量变化为零，冲量为零。
C错误：圆盘停止后，小物体沿切线方向运动，不是半径方向。
D正确：滑动过程初速度v = ωr，末速度0，由动量定理，摩擦力冲量I = Δp = mωr。
本题考查圆周运动和冲量。
A错误：圆盘转动时，摩擦力提供向心力，方向指向圆心，不是切线方向。
B错误：运动一圈，速度方向改变但大小不变，动量变化为零，冲量为零。
C错误：圆盘停止后，小物体沿切线方向运动，不是半径方向。
D正确：滑动过程初速度v = ωr，末速度0，由动量定理，摩擦力冲量I = Δp = mωr。
11．某同学搬运如图所示的磁电式电流表时，发现表针晃动剧烈且不易停止。按照老师建议，该同学在两接线柱间接一根导线后再次搬运，发现表针晃动明显减弱且能很快停止。下列说法正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】D
【详解】
本题考查电磁阻尼。
A．未接导线时，线圈切割磁感线仍产生感应电动势，故A错误；
B．未接导线时电路断开，无感应电流、无安培力，表针晃动剧烈，故B错误；
C．接上导线后形成闭合回路，线圈仍产生感应电动势，故C错误；
D．接上导线后产生感应电流，感应电流受安培力阻碍运动，形成电磁阻尼使表针晃动减弱，故D正确。
本题考查电磁阻尼。
A．未接导线时，线圈切割磁感线仍产生感应电动势，故A错误；
B．未接导线时电路断开，无感应电流、无安培力，表针晃动剧烈，故B错误；
C．接上导线后形成闭合回路，线圈仍产生感应电动势，故C错误；
D．接上导线后产生感应电流，感应电流受安培力阻碍运动，形成电磁阻尼使表针晃动减弱，故D正确。
12．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出
👩🏫 教师答案
【答案】A
【详解】
本题考查带电粒子在磁场中的运动。
A．由入射方向和出射方向的垂线可确定圆心，从而写出轨迹方程，故A正确；
B．因磁感应强度B未知，无法求速率，故B错误；
C．因B未知，无法求运动时间，故C错误；
D．因B未知，无法求磁感应强度，故D错误。
本题考查带电粒子在磁场中的运动。
A．由入射方向和出射方向的垂线可确定圆心，从而写出轨迹方程，故A正确；
B．因磁感应强度B未知，无法求速率，故B错误；
C．因B未知，无法求运动时间，故C错误；
D．因B未知，无法求磁感应强度，故D错误。
13．某同学使用轻弹簧、直尺、钢球等制作了一个“竖直加速度测量仪”。如图所示，弹簧上端固定，在弹簧旁沿弹簧长度方向固定一直尺。不挂钢球时，弹簧下端指针位于直尺20 cm刻度处；下端悬挂钢球，静止时指针位于直尺40 cm刻度处。将直尺不同刻度对应的加速度标在直尺上，就可用此装置直接测量竖直方向的加速度。取竖直向上为正方向，重力加速度大小为g。下列说法正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】A
【详解】
本题考查胡克定律和牛顿第二定律。
A．30cm刻度伸长10cm，弹力F=0.5mg，由mg-F=ma得a=0.5g向下=-0.5g，故A正确；
B．40cm为挂钢球静止时的平衡位置，加速度a=0，故B错误；
C．50cm伸长30cm，弹力F=1.5mg，a=0.5g向上，故C错误；
D．加速度与刻度成线性关系，刻度是均匀的，故D错误。
本题考查胡克定律和牛顿第二定律。
A．30cm刻度伸长10cm，弹力F=0.5mg，由mg-F=ma得a=0.5g向下=-0.5g，故A正确；
B．40cm为挂钢球静止时的平衡位置，加速度a=0，故B错误；
C．50cm伸长30cm，弹力F=1.5mg，a=0.5g向上，故C错误；
D．加速度与刻度成线性关系，刻度是均匀的，故D错误。
14．北京高能光源是我国首个第四代同步辐射光源，计划于2025年建成。同步辐射光具有光谱范围宽（从远红外到X光波段，波长范围约为10^{-5} m～10^{-11} m，对应能量范围约为10^{-1} eV～10⁵ eV）、光源亮度高、偏振性好等诸多特点，在基础科学研究、应用科学和工艺学等领域已得到广泛应用。
速度接近光速的电子在磁场中偏转时，会沿圆弧轨道切线发出电磁辐射，这个现象最初是在同步加速器上观察到的，称为“同步辐射”。以接近光速运动的单个电子能量约为10⁹ eV，回旋一圈辐射的总能量约为10⁴ eV。下列说法正确的是
👩🏫 教师答案
【答案】D
【详解】
本题考查同步辐射和氢原子能级。
A错误：同步辐射是电子在磁场中偏转时发出的，氢原子发光是电子跃迁产生的，机理不同。
B错误：同步辐射光能量范围约10⁻¹ eV～10⁵ eV，氢原子电离能13.6 eV，可以被电离。
C错误：蛋白质分子线度约10⁻⁸ m，同步辐射光有X光波段（波长10⁻¹¹ m～10⁻⁸ m），可以产生衍射。
D正确：电子能量约10⁹ eV，辐射能量约10⁴ eV，辐射能量只占总能量的10⁻⁵，不会明显减小。
本题考查同步辐射和氢原子能级。
A错误：同步辐射是电子在磁场中偏转时发出的，氢原子发光是电子跃迁产生的，机理不同。
B错误：同步辐射光能量范围约10⁻¹ eV～10⁵ eV，氢原子电离能13.6 eV，可以被电离。
C错误：蛋白质分子线度约10⁻⁸ m，同步辐射光有X光波段（波长10⁻¹¹ m～10⁻⁸ m），可以产生衍射。
D正确：电子能量约10⁹ eV，辐射能量约10⁴ eV，辐射能量只占总能量的10⁻⁵，不会明显减小。
二、非选择题
15．（8分）
物理实验一般都涉及实验目的、实验原理、实验仪器、实验方法、实验操作、数据分析等。例如：
(1) 实验仪器。用游标卡尺测某金属管的内径，示数如图1所示。则该金属管的内径为__________mm。
(2) 数据分析。打点计时器在随物体做匀变速直线运动的纸带上打点，其中一部分如图2所示，B、C、D为纸带上标出的连续3个计数点，相邻计数点之间还有4个计时点没有标出。打点计时器接在频率为50 Hz的交流电源上。则打C点时，纸带运动的速度vC =__________m/s（结果保留小数点后两位）。
(3) 实验原理。图3为“探究加速度与力的关系”的实验装置示意图。认为桶和砂所受的重力等于使小车做匀加速直线运动的合力。实验中平衡了摩擦力后，要求桶和砂的总质量m比小车质量M小得多。请分析说明这个要求的理由。
👩🏫 教师答案
【答案】（1）31.4
（2）0.44
（3）见详解
（2）0.44
（3）见详解
【详解】
（1）游标卡尺读数
主尺：31 mm
游标尺：第4条对齐，0.4 mm
读数：31.4 mm
（2）C点速度计算
相邻计数点时间间隔T = 5×0.02 = 0.1 s
vC = xBD/(2T) = ... = 0.44 m/s
（3）理由分析
设绳拉力为T，小车加速度为a。
对桶和砂：mg - T = ma
对小车：T = Ma
解得：T = Mmg/(M+m) = mg/(1+m/M)
只有当m << M时，T ≈ mg，才能认为桶和砂重力等于小车合力。
（1）游标卡尺读数
主尺：31 mm
游标尺：第4条对齐，0.4 mm
读数：31.4 mm
（2）C点速度计算
相邻计数点时间间隔T = 5×0.02 = 0.1 s
vC = xBD/(2T) = ... = 0.44 m/s
（3）理由分析
设绳拉力为T，小车加速度为a。
对桶和砂：mg - T = ma
对小车：T = Ma
解得：T = Mmg/(M+m) = mg/(1+m/M)
只有当m << M时，T ≈ mg，才能认为桶和砂重力等于小车合力。
16．（10分）
在“测量金属丝的电阻率”实验中，某同学用电流表和电压表测量一金属丝的电阻。
（1）该同学先用欧姆表"×1"挡粗测该金属丝的电阻，示数如图1所示，对应的读数是__________。
（2）除电源（电动势3.0 V，内阻不计）、电压表（量程0 ~ 3 V，内阻约3 kΩ）、开关、导线若干外，还提供如下实验器材：
为了调节方便、测量准确，实验中电流表应选用__________，滑动变阻器应选用__________。（选填实验器材前对应的字母）
（3）该同学测量金属丝两端的电压U和通过金属丝的电流I，得到多组数据，并在坐标图上标出，如图2所示。请作出该金属丝的U - I图线，根据图线得出该金属丝电阻R =__________Ω（结果保留小数点后两位）。
（4）用电流传感器测量通过定值电阻的电流，电流随时间变化的图线如图3所示。将定值电阻替换为小灯泡，电流随时间变化的图线如图4所示，请分析说明小灯泡的电流为什么随时间呈现这样的变化。
👩🏫 教师答案
【答案】（1）6 Ω
（2）A；C
（3）5.80 Ω
（4）见详解
（2）A；C
（3）5.80 Ω
（4）见详解
【详解】
（1）欧姆表读数
挡位×1，指针指6，读数6 Ω。
（2）器材选择
估算电流I = U/R = 3/6 = 0.5 A，选A（0.6 A量程）。
为调节方便，滑动变阻器选C（10 Ω）。
（3）U-I图线
描点作图，斜率即为电阻，约5.80 Ω。
（4）小灯泡电流变化原因
刚闭合开关时，灯丝温度低，电阻小，电流大；
随温度升高，电阻增大，电流减小；
当发热与散热平衡时，温度稳定，电流保持不变。
（1）欧姆表读数
挡位×1，指针指6，读数6 Ω。
（2）器材选择
估算电流I = U/R = 3/6 = 0.5 A，选A（0.6 A量程）。
为调节方便，滑动变阻器选C（10 Ω）。
（3）U-I图线
描点作图，斜率即为电阻，约5.80 Ω。
（4）小灯泡电流变化原因
刚闭合开关时，灯丝温度低，电阻小，电流大；
随温度升高，电阻增大，电流减小；
当发热与散热平衡时，温度稳定，电流保持不变。
17．（9分）
如图所示，小物块A、B的质量均为m = 0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h = 0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s = 0.30 m，取重力加速度g = 10 m/s2。求：
(1) 两物块在空中运动的时间t；
(2) 两物块碰前A的速度v0的大小；
(3) 两物块碰撞过程中损失的机械能。
👩🏫 教师答案
【答案】（1）t = 0.30 s
（2）v₀ = 2.0 m/s
（3）ΔE = 0.10 J
（2）v₀ = 2.0 m/s
（3）ΔE = 0.10 J
【详解】
（1）平抛运动时间
h = (1/2)gt²
t = √(2h/g) = √(2×0.45/10) = 0.30 s
（2）碰前速度
水平位移s = v't，v' = s/t = 0.30/0.30 = 1.0 m/s
动量守恒：mv₀ = 2mv'
v₀ = 2v' = 2.0 m/s
（3）机械能损失
ΔE = (1/2)mv₀² - (1/2)(2m)v'² = 0.5×0.1×4 - 0.5×0.2×1 = 0.2 - 0.1 = 0.10 J
（1）平抛运动时间
h = (1/2)gt²
t = √(2h/g) = √(2×0.45/10) = 0.30 s
（2）碰前速度
水平位移s = v't，v' = s/t = 0.30/0.30 = 1.0 m/s
动量守恒：mv₀ = 2mv'
v₀ = 2v' = 2.0 m/s
（3）机械能损失
ΔE = (1/2)mv₀² - (1/2)(2m)v'² = 0.5×0.1×4 - 0.5×0.2×1 = 0.2 - 0.1 = 0.10 J
18．（9分）
如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
(1) 求粒子加速器M的加速电压U；
(2) 求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
(3) 仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。
👩🏫 教师答案
【答案】（1）U = mv²/(2q)
（2）E = vB，方向垂直导体板向下
（3）Ek = (1/2)(2m)v² + qEd
（2）E = vB，方向垂直导体板向下
（3）Ek = (1/2)(2m)v² + qEd
【详解】
（1）加速电压
qU = (1/2)mv²
U = mv²/(2q)
（2）速度选择器
电场力与洛伦兹力平衡：qE = qvB
E = vB
方向：正电荷受洛伦兹力向上，电场力应向下，E向下。
（3）动能计算
质量为2m的粒子：
加速后速度v' = √(qU/m) = v/√2 ≠ v
在速度选择器中，qE ≠ qv'B，会偏转。
电场力做功W = qEd
由动能定理：Ek = (1/2)(2m)v'² + qEd = (1/2)(2m)(v²/2) + qEd = mv²/2 + qEd
（1）加速电压
qU = (1/2)mv²
U = mv²/(2q)
（2）速度选择器
电场力与洛伦兹力平衡：qE = qvB
E = vB
方向：正电荷受洛伦兹力向上，电场力应向下，E向下。
（3）动能计算
质量为2m的粒子：
加速后速度v' = √(qU/m) = v/√2 ≠ v
在速度选择器中，qE ≠ qv'B，会偏转。
电场力做功W = qEd
由动能定理：Ek = (1/2)(2m)v'² + qEd = (1/2)(2m)(v²/2) + qEd = mv²/2 + qEd
19．（10分）
类比是研究问题的常用方法。
(1) 情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力（k为常量）的作用。其速率v随时间t的变化规律可用方程（①式）描述，其中m为物体质量，G为其重力。求物体下落的最大速率。
(2) 情境2：如图1所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发现电路中电流I随时间t的变化规律与情境1中物体速率v随时间t的变化规律类似。类比①式，写出电流I随时间t变化的方程；并在图2中定性画出I - t图线。
(3) 类比情境1和情境2中的能量转化情况，完成下表。
👩🏫 教师答案
【答案】（1）vm = G/k
（2）E - IR = L(ΔI/Δt)，图线见详解
（3）电源提供的电能 = 线圈磁场能的增加量 + 电阻R上消耗的电能
（2）E - IR = L(ΔI/Δt)，图线见详解
（3）电源提供的电能 = 线圈磁场能的增加量 + 电阻R上消耗的电能
【详解】
（1）最大速率
当Δv/Δt = 0时，G - kvm = 0
vm = G/k
（2）RL电路方程
类比：E对应G，I对应v，R对应k，L对应m
方程：E - IR = L(ΔI/Δt)
图线：I从0开始，按指数规律趋近于E/R
（3）能量转化
情境1：重力势能 → 动能 + 克服阻力做功
情境2：电源电能 → 磁场能 + 电阻发热
（1）最大速率
当Δv/Δt = 0时，G - kvm = 0
vm = G/k
（2）RL电路方程
类比：E对应G，I对应v，R对应k，L对应m
方程：E - IR = L(ΔI/Δt)
图线：I从0开始，按指数规律趋近于E/R
（3）能量转化
情境1：重力势能 → 动能 + 克服阻力做功
情境2：电源电能 → 磁场能 + 电阻发热
20．（12分）
秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为l₁，人站立时摆长为l₂。不计空气阻力，重力加速度大小为g。
(1) 如果摆长为，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的大小。
(2) 在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a．人蹲在踏板上从最大摆角开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明。
b．实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能应满足的条件。
👩🏫 教师答案
【答案】（1）T = mg + mv²/l₁
（2）a. 证明见详解；b. ΔEₖ ≥ (5/2)mgl₂ - mgl₁(1-cosθ)
（2）a. 证明见详解；b. ΔEₖ ≥ (5/2)mgl₂ - mgl₁(1-cosθ)
【详解】
（1）最低点拉力
向心力：T - mg = mv²/l₁
T = mg + mv²/l₁
（2）a. 证明θ₂ > θ₁
蹲下时摆长l₁，站立时摆长l₂，且l₂ < l₁。
由机械能守恒，最低点速度v相同。
最大高度处：mgl₁(1-cosθ₁) = mgl₂(1-cosθ₂) = (1/2)mv²
因为l₂ < l₁，所以1-cosθ₂ > 1-cosθ₁，即θ₂ > θ₁。
b. 完整圆周运动条件
在最高点最小速度v_min = √(gl₂)
从最高点到最低点：mg·2l₂ = (1/2)mv²低 - (1/2)mv²高
在最低点总动能需满足：
(1/2)mv²低 ≥ (1/2)m·5gl₂ = (5/2)mgl₂
由能量守恒，蹲下时到最低点动能：mgl₁(1-cosθ)
需增加的动能：ΔEₖ ≥ (5/2)mgl₂ - mgl₁(1-cosθ)
（1）最低点拉力
向心力：T - mg = mv²/l₁
T = mg + mv²/l₁
（2）a. 证明θ₂ > θ₁
蹲下时摆长l₁，站立时摆长l₂，且l₂ < l₁。
由机械能守恒，最低点速度v相同。
最大高度处：mgl₁(1-cosθ₁) = mgl₂(1-cosθ₂) = (1/2)mv²
因为l₂ < l₁，所以1-cosθ₂ > 1-cosθ₁，即θ₂ > θ₁。
b. 完整圆周运动条件
在最高点最小速度v_min = √(gl₂)
从最高点到最低点：mg·2l₂ = (1/2)mv²低 - (1/2)mv²高
在最低点总动能需满足：
(1/2)mv²低 ≥ (1/2)m·5gl₂ = (5/2)mgl₂
由能量守恒，蹲下时到最低点动能：mgl₁(1-cosθ)
需增加的动能：ΔEₖ ≥ (5/2)mgl₂ - mgl₁(1-cosθ)