20．
如图1所示，金属圆筒A接高压电源正极，其轴线上的金属线B接负极。
（1） 设两极间电压为U，求在B极附近电荷量为Q的负电荷到达A极过程中静电力做的功W。
（2） 已知筒内距离轴线r处电场强度大小 E＝kλ/r，其中k为静电力常量，λ为金属线B单位长度的电荷量。如图2所示，在圆筒内横截面上，电荷量为q、质量为m的粒子绕轴线做半径不同的匀速圆周运动，其半径为r₁、r₂和r₃时的总能量分别为E₁、E₂和E₃。若r₃−r₂＝r₂−r₁，推理分析并比较(E₃−E₂)与(E₂−E₁)的大小。
（3） 图1实为某种静电除尘装置原理图，空气分子在B极附近电离，筒内尘埃吸附电子而带负电，在电场作用下最终被A极收集。使分子或原子电离需要一定条件。以电离氢原子为例。根据玻尔原子模型，定态氢原子中电子在特定轨道上绕核做圆周运动，处于特定能量状态，只有当原子获得合适能量才能跃迁或电离。若氢原子处于外电场中，推导说明外电场的电场强度多大能将基态氢原子电离。（可能用到：元电荷，电子质量，静电力常量，基态氢原子轨道半径和能量）
【答案】（1）W=QU
（2）(E₃−E₂)<(E₂−E₁)
（3）E≈2.57×10¹¹ N/C
（2）(E₃−E₂)<(E₂−E₁)
（3）E≈2.57×10¹¹ N/C
【详解】（1）在B极附近电荷量为Q负电荷到达A极过程中静电力做的功W=QU。
（2）粒子在半径为r处绕轴线做匀速圆周运动，其向心力由电场力提供，根据向心力公式qE=mv²/r，又E=λ/2πε₀r，联立可得mv²=qλ/2πε₀。解得粒子的动能Eₖ=qλ/4πε₀。设无穷远处电势能为0，粒子从无穷远处移动到半径为r处，电场力做功W=q∫E·dr=qλln(r)/2πε₀，根据W=-ΔEₚ可得粒子在半径为r处的电势能Eₚ=-qλln(r)/2πε₀。粒子的总能量E=Eₖ+Eₚ=qλ/4πε₀-qλln(r)/2πε₀。则E₁-E₂=qλ/2πε₀·ln(r₂/r₁)，由于r₂>r₁，ln(r₂/r₁)>0，可得E₁<E₂。
（3）方法一：电子绕核做圆周运动，库仑力提供向心力，即ke²/a²=mv²/a，电子的动能Eₖ=ke²/2a。电子从基态轨道半径a处运动到无穷远处，克服库仑力做功W=∫ke²/r²dr=ke²/a，则电子在基态轨道半径a处的电势能Eₚ=-ke²/a。根据能量守恒定律，将基态氢原子电离所需的能量等于电子的动能与基态氢原子的势能之和，即E_电离=ke²/2a=|E₁|。设外电场的电场强度为E，电子在电场力作用下获得能量，当电子获得的能量等于将基态氢原子电离所需的能量时，氢原子被电离。电子在电场力作用下获得的能量E·e·a=|E₁|，可得E=|E₁|/ea=ke²/(2a²)。
（2）粒子在半径为r处绕轴线做匀速圆周运动，其向心力由电场力提供，根据向心力公式qE=mv²/r，又E=λ/2πε₀r，联立可得mv²=qλ/2πε₀。解得粒子的动能Eₖ=qλ/4πε₀。设无穷远处电势能为0，粒子从无穷远处移动到半径为r处，电场力做功W=q∫E·dr=qλln(r)/2πε₀，根据W=-ΔEₚ可得粒子在半径为r处的电势能Eₚ=-qλln(r)/2πε₀。粒子的总能量E=Eₖ+Eₚ=qλ/4πε₀-qλln(r)/2πε₀。则E₁-E₂=qλ/2πε₀·ln(r₂/r₁)，由于r₂>r₁，ln(r₂/r₁)>0，可得E₁<E₂。
（3）方法一：电子绕核做圆周运动，库仑力提供向心力，即ke²/a²=mv²/a，电子的动能Eₖ=ke²/2a。电子从基态轨道半径a处运动到无穷远处，克服库仑力做功W=∫ke²/r²dr=ke²/a，则电子在基态轨道半径a处的电势能Eₚ=-ke²/a。根据能量守恒定律，将基态氢原子电离所需的能量等于电子的动能与基态氢原子的势能之和，即E_电离=ke²/2a=|E₁|。设外电场的电场强度为E，电子在电场力作用下获得能量，当电子获得的能量等于将基态氢原子电离所需的能量时，氢原子被电离。电子在电场力作用下获得的能量E·e·a=|E₁|，可得E=|E₁|/ea=ke²/(2a²)。
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