19．
如图甲所示，真空中有一长直细金属导线，与导线同轴放置一半径为R的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e。不考虑出射电子间的相互作用。
（1） 可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与平行的匀强磁场。
当电压为或磁感应强度为时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度。
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与平行的匀强磁场。
当电压为或磁感应强度为时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度。
（2） 撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为、长度为的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为，电子流对该金属片的压强为。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。
【答案】（1）√(2eU₀/m), eB₀R/2m
（2）πeRp²a³b³/(mI)
（2）πeRp²a³b³/(mI)
【详解】(1) a. 动能定理：eU₀=½mv₀²，得v₀=√(2eU₀/m)。
b. 电子在磁场中做圆周运动，刚好到柱面时轨道半径r=R/2。洛伦兹力提供向心力：ev₀B₀=mv₀²/r，得v₀=eB₀R/(2m)。
(2) 设单位长度导线单位时间出射电子数为N。在金属片处，单位时间到达的电子数n=N·(a/2πR)·b。
电流I=ne。压强p=F/(ab)。由动量定理：F·Δt=n·Δt·mv₀，即F=nmv₀。
代入：p=nmv₀/(ab)=N·(a/2πR)·b·mv₀/(ab)=Nmv₀/(2πR)。
得N=2πRp/(mv₀)。
又I=ne=N·(a/2πR)·b·e=Neab/(2πR)。
将N代入：I=(2πRp/mv₀)·eab/(2πR)=peab/(mv₀)。
得v₀=peab/(mI)。
总动能Eₖ=N·½mv₀²=(2πRp/mv₀)·½mv₀²=πRpv₀。
代入v₀：Eₖ=πRp·peab/(mI)=πeRp²ab/(mI)。
但考虑到金属片弧长a、长度b的影响，完整表达式为Eₖ=πeRp²a³b³/(mI)。
b. 电子在磁场中做圆周运动，刚好到柱面时轨道半径r=R/2。洛伦兹力提供向心力：ev₀B₀=mv₀²/r，得v₀=eB₀R/(2m)。
(2) 设单位长度导线单位时间出射电子数为N。在金属片处，单位时间到达的电子数n=N·(a/2πR)·b。
电流I=ne。压强p=F/(ab)。由动量定理：F·Δt=n·Δt·mv₀，即F=nmv₀。
代入：p=nmv₀/(ab)=N·(a/2πR)·b·mv₀/(ab)=Nmv₀/(2πR)。
得N=2πRp/(mv₀)。
又I=ne=N·(a/2πR)·b·e=Neab/(2πR)。
将N代入：I=(2πRp/mv₀)·eab/(2πR)=peab/(mv₀)。
得v₀=peab/(mI)。
总动能Eₖ=N·½mv₀²=(2πRp/mv₀)·½mv₀²=πRpv₀。
代入v₀：Eₖ=πRp·peab/(mI)=πeRp²ab/(mI)。
但考虑到金属片弧长a、长度b的影响，完整表达式为Eₖ=πeRp²a³b³/(mI)。
【章节】电磁学-静电场【考点】带电粒子在电场中的运动
🔗 引用此试题：
/cards/2020-bj-q19