20．
螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1） 求r＞R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2） 根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3） 科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在r＞R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（r＞R）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求r＝nR内暗物质的质量M′。
【答案】（1）v＝√(GM/r)
（2）v＝r√(GM/R³)
（3）M′＝(n²−1)M
（2）v＝r√(GM/R³)
（3）M′＝(n²−1)M
【详解】（1）r＞R 区域：球体外各点受到的万有引力等效于全部质量 M 集中于球心（均匀球壳内部引力为零），由 GMm/r²＝mv²/r 得 v＝√(GM/r)。
（2）r≤R 区域：半径 r 内的物质质量 M(r)＝M·r³/R³，由 GM(r)m/r²＝mv²/r 得 v＝r√(GM/R³)。
（3）由图像，r＞R 范围内恒星速度 v 几乎不变，而 v²＝G·M_总(r)/r²，故 r 内的总质量 M_总(r)∝r²。r＝R 时球内总质量为 M（常规物质全部集中在半径 R 的球体内），于是 r＝nR 时球内总质量为 n²M，即 M′＋M＝n²M，得 M′＝(n²−1)M。
（2）r≤R 区域：半径 r 内的物质质量 M(r)＝M·r³/R³，由 GM(r)m/r²＝mv²/r 得 v＝r√(GM/R³)。
（3）由图像，r＞R 范围内恒星速度 v 几乎不变，而 v²＝G·M_总(r)/r²，故 r 内的总质量 M_总(r)∝r²。r＝R 时球内总质量为 M（常规物质全部集中在半径 R 的球体内），于是 r＝nR 时球内总质量为 n²M，即 M′＋M＝n²M，得 M′＝(n²−1)M。
【章节】力学-万有引力与航天【考点】万有引力提供向心力球壳内引力为零暗物质
🔗 引用此试题：
/cards/2023-bj-q20