19．
关于飞机的运动，研究下列问题。
（1） 质量为m的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动，当位移为x时速度为v。在此过程中，飞机受到的平均阻力为f，求牵引力对飞机做的功W。
（2） 飞机准备起飞，在跑道起点由静止开始做匀加速直线运动。跑道上存在这样一个位置，飞机一旦超过该位置就不能放弃起飞，否则将会冲出跑道。己知跑道的长度为L，飞机加速时加速度大小为a₁，减速时最大加速度大小为a₂。求该位置距起点的距离d。
（3） 无风时，飞机以速率 u 水平向前匀速飞行，相当于气流以速率 u 相对飞机向后运动。气流掠过飞机机翼，方向改变，沿机翼向后下方运动，如图所示。请建立合理的物理模型，论证气流对机翼竖直向上的作用力大小 F 与 u 的关系满足 F∝u²，并确定 α 的值。
【答案】（1）W＝½mv²＋fx
（2）d＝a₂L/(a₁＋a₂)
（3）F/u²＝ρS（即 F∝u²），α＝45°
（2）d＝a₂L/(a₁＋a₂)
（3）F/u²＝ρS（即 F∝u²），α＝45°
【详解】（1）由动能定理 W−fx＝½mv²，得牵引力对飞机做的功 W＝½mv²＋fx。
（2）设起飞速度为 v，加速段位移为 d：v²＝2a₁d；减速段 v²＝2a₂(L−d)。联立解得 d＝a₂L/(a₁＋a₂)。
（3）建立模型：气流以速率 u 相对机翼沿水平方向射入，掠过机翼后沿机翼弦线方向（向后下方）流出，弦线与气流方向的夹角为 α。气流速度改变量垂直于弦线，其大小 Δv＝u sinα。单位时间通过机翼的气体质量为 ρSu，由动量定理得机翼所受气流作用力 F＝ρS u·u sinα＝ρS u² sinα，方向垂直于弦线；其竖直向上的分力 Fy＝F cosα＝ρS u² sinα cosα＝(ρS u²/2)·sin2α。可见竖直作用力 Fy 与 u 的平方成正比，满足 F∝u²；又当 α＝45°（即气流被偏转 90°）时 sin2α 取最大值 1，此时 Fy＝ρS u²，故 α＝45°，且 F/u²＝ρS。
（2）设起飞速度为 v，加速段位移为 d：v²＝2a₁d；减速段 v²＝2a₂(L−d)。联立解得 d＝a₂L/(a₁＋a₂)。
（3）建立模型：气流以速率 u 相对机翼沿水平方向射入，掠过机翼后沿机翼弦线方向（向后下方）流出，弦线与气流方向的夹角为 α。气流速度改变量垂直于弦线，其大小 Δv＝u sinα。单位时间通过机翼的气体质量为 ρSu，由动量定理得机翼所受气流作用力 F＝ρS u·u sinα＝ρS u² sinα，方向垂直于弦线；其竖直向上的分力 Fy＝F cosα＝ρS u² sinα cosα＝(ρS u²/2)·sin2α。可见竖直作用力 Fy 与 u 的平方成正比，满足 F∝u²；又当 α＝45°（即气流被偏转 90°）时 sin2α 取最大值 1，此时 Fy＝ρS u²，故 α＝45°，且 F/u²＝ρS。
【章节】力学-牛顿运动定律与能量【考点】功与功率动能定理牛顿第二定律图像分析
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