20．
秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为l₁，人站立时摆长为l₂。不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1） 如果摆长为l₁，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的大小。
（2） 在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a．人蹲在踏板上从最大摆角θ₁开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为θ₂。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明θ₂＞θ₁。
b．实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能ΔEₖ应满足的条件。
a．人蹲在踏板上从最大摆角θ₁开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为θ₂。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明θ₂＞θ₁。
b．实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能ΔEₖ应满足的条件。
【答案】（1）T = mg + mv²/l₁
（2）a. 证明见详解；b. ΔEₖ ≥ (5/2)mgl₂ - mgl₁(1-cosθ)
（2）a. 证明见详解；b. ΔEₖ ≥ (5/2)mgl₂ - mgl₁(1-cosθ)
【详解】（1）最低点拉力
向心力：T - mg = mv²/l₁
T = mg + mv²/l₁
（2）a. 证明θ₂ > θ₁
蹲下时摆长l₁，站立时摆长l₂，且l₂ < l₁。
由机械能守恒，最低点速度v相同。
最大高度处：mgl₁(1-cosθ₁) = mgl₂(1-cosθ₂) = (1/2)mv²
因为l₂ < l₁，所以1-cosθ₂ > 1-cosθ₁，即θ₂ > θ₁。
b. 完整圆周运动条件
在最高点最小速度vₘin = √(gl₂)
从最高点到最低点：mg·2l₂ = (1/2)mv²低 - (1/2)mv²高
在最低点总动能需满足：
(1/2)mv²低 ≥ (1/2)m·5gl₂ = (5/2)mgl₂
由能量守恒，蹲下时到最低点动能：mgl₁(1-cosθ)
需增加的动能：ΔEₖ ≥ (5/2)mgl₂ - mgl₁(1-cosθ)
向心力：T - mg = mv²/l₁
T = mg + mv²/l₁
（2）a. 证明θ₂ > θ₁
蹲下时摆长l₁，站立时摆长l₂，且l₂ < l₁。
由机械能守恒，最低点速度v相同。
最大高度处：mgl₁(1-cosθ₁) = mgl₂(1-cosθ₂) = (1/2)mv²
因为l₂ < l₁，所以1-cosθ₂ > 1-cosθ₁，即θ₂ > θ₁。
b. 完整圆周运动条件
在最高点最小速度vₘin = √(gl₂)
从最高点到最低点：mg·2l₂ = (1/2)mv²低 - (1/2)mv²高
在最低点总动能需满足：
(1/2)mv²低 ≥ (1/2)m·5gl₂ = (5/2)mgl₂
由能量守恒，蹲下时到最低点动能：mgl₁(1-cosθ)
需增加的动能：ΔEₖ ≥ (5/2)mgl₂ - mgl₁(1-cosθ)
🔗 引用此试题：
/cards/2021-bj-q20