19．
利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1） 某质量为 m 的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为 v₁，在远日点速度为 v₂。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功 W。
（2） 设行星与恒星的距离为 r，请根据开普勒第三定律（T²/r³＝k，k 为常量）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力 F 与 r 的平方成反比。
（3） 宇宙中某恒星质量是太阳质量的 2 倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的 16 倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为 T₁，绕此恒星公转的周期为 T₂，求 T₂/T₁。
【答案】（1）W = (1/2)m(v₂² - v₁²)
（2）证明见详解
（3）T₂/T₁ = 4√2
（2）证明见详解
（3）T₂/T₁ = 4√2
【详解】（1）太阳对行星做的功
由动能定理，太阳对行星的万有引力做的功等于行星动能的变化：
W = ΔEk = (1/2)mv₂² - (1/2)mv₁²
（2）证明F ∝ 1/r²
由开普勒第三定律：T²/r³ = k（常数）
向心力由万有引力提供：
F = mv²/r = m(2πr/T)²/r = 4π²mr/T²
将T² = kr³代入：
F = 4π²mr/(kr³) = (4π²/k)(m/r²) ∝ 1/r²
证毕。
（3）周期比计算
设地球绕太阳公转轨道半径为r₁，绕新恒星公转轨道半径为r₂。
由温度相同，接收辐射功率相同：
P₁/(4πr₁²) = P₂/(4πr₂²)
16P₁/(4πr₁²) = P₁/(4πr₂²)
r₂/r₁ = 4
由开普勒第三定律：
T² ∝ r³/M
T₂²/T₁² = (r₂³/r₁³)(M₁/M₂) = (4³)(1/2) = 64/2 = 32
T₂/T₁ = √32 = 4√2
由动能定理，太阳对行星的万有引力做的功等于行星动能的变化：
W = ΔEk = (1/2)mv₂² - (1/2)mv₁²
（2）证明F ∝ 1/r²
由开普勒第三定律：T²/r³ = k（常数）
向心力由万有引力提供：
F = mv²/r = m(2πr/T)²/r = 4π²mr/T²
将T² = kr³代入：
F = 4π²mr/(kr³) = (4π²/k)(m/r²) ∝ 1/r²
证毕。
（3）周期比计算
设地球绕太阳公转轨道半径为r₁，绕新恒星公转轨道半径为r₂。
由温度相同，接收辐射功率相同：
P₁/(4πr₁²) = P₂/(4πr₂²)
16P₁/(4πr₁²) = P₁/(4πr₂²)
r₂/r₁ = 4
由开普勒第三定律：
T² ∝ r³/M
T₂²/T₁² = (r₂³/r₁³)(M₁/M₂) = (4³)(1/2) = 64/2 = 32
T₂/T₁ = √32 = 4√2
🔗 引用此试题：
/cards/2022-bj-q19