20．
我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和B₁；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氩原子碰撞并使其电离。每个氩离子的质量为M、电荷量为+e，初速度近似为零。氩离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为−e；对于氩离子，仅考虑电场的作用。
已知电子的质量为m、电荷量为−e；对于氩离子，仅考虑电场的作用。
（1） 求氩离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2） 求径向磁场的磁感应强度大小B₂；
（3） 设被电离的氩原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。
【答案】（1）a = eE/M
（2）B₂ = √(mE/2e)
（3）F = nk√(2eEM)/(1+k)
（2）B₂ = √(mE/2e)
（3）F = nk√(2eEM)/(1+k)
【详解】（1）氙离子（电荷量+e、质量M）在放电室中仅受电场力作用：
eE = Ma
解得加速度：a = eE/M
（2）电子由阴极发射运动到阳极过程中，电场对电子做功。由动能定理：
eE = (1/2)mv²
得电子速度：v = √(2eE/m)
电子在阳极附近做匀速圆周运动（径向磁场B₂提供向心力），轴线上电场力与洛伦兹力平衡：
eE = evB₂
解得径向磁场磁感应强度：B₂ = E/v = √(mE/2e)
（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数与进入放电室的电子数之比为常数k，则单位时间内被电离的氙离子数：N = nk/(1+k)
氙离子经电场加速后喷出，由eE·d = (1/2)MV₁²得喷出速度：V₁ = √(2eEd/M)（或由动能定理直接得）
由动量定理：推力F等于单位时间喷射离子的动量变化：F = NMV₁
最终得：F = nk√(2eEM)/(1+k)
（式中M为氙离子质量）
eE = Ma
解得加速度：a = eE/M
（2）电子由阴极发射运动到阳极过程中，电场对电子做功。由动能定理：
eE = (1/2)mv²
得电子速度：v = √(2eE/m)
电子在阳极附近做匀速圆周运动（径向磁场B₂提供向心力），轴线上电场力与洛伦兹力平衡：
eE = evB₂
解得径向磁场磁感应强度：B₂ = E/v = √(mE/2e)
（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数与进入放电室的电子数之比为常数k，则单位时间内被电离的氙离子数：N = nk/(1+k)
氙离子经电场加速后喷出，由eE·d = (1/2)MV₁²得喷出速度：V₁ = √(2eEd/M)（或由动能定理直接得）
由动量定理：推力F等于单位时间喷射离子的动量变化：F = NMV₁
最终得：F = nk√(2eEM)/(1+k)
（式中M为氙离子质量）
🔗 引用此试题：
/cards/2024-bj-q20