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科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为r₀，宇宙的密度为ρ₀。
（1） 求小星体P远离到2r₀处时宇宙的密度ρ；
（2） 以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为m₁和m₂、距离为R的两个质点间的引力势能E_p＝−Gm₁m₂/R，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。
a 求小星体P从r₀处远离到2r₀处的过程中动能的变化量ΔE_k；
b 宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律v＝Hr，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。
【答案】（1）ρ = ρ₀/8
（2）a．ΔEₖ = −(2/3)Gπρ₀mr₀² b．H随t增大而减小
（2）a．ΔEₖ = −(2/3)Gπρ₀mr₀² b．H随t增大而减小
【详解】（1）在宇宙中所有位置观测结果相同 → 小星体P运动前后，半径为r₀和2r₀的球体内质量相同：
ρ₀·(4/3)πr₀³ = ρ·(4/3)π(2r₀)³ = ρ·(32/3)πr₀³
解得：ρ = (1/8)ρ₀
（2）a．球内质量：M = ρ₀·(4/3)πr₀³
在r₀处的引力势能：Eₚ₁ = −GMm/r₀
在2r₀处的引力势能：Eₚ₂ = −GMm/(2r₀)
动能变化量（仅考虑万有引力做功）：ΔEₖ = −ΔEₚ = Eₚ₁ − Eₚ₂ = −GMm/r₀ + GMm/(2r₀) = −GMm/(2r₀)
代入M得：ΔEₖ = −(2/3)Gπρ₀mr₀²
b．由a知星体的速度随r₀增大而减小。由v = Hr知，当r增大时v增大但增速放缓（因为速度实际随r₀增加而减小）。由于哈勃常数H = v/r，随着时间t推移、距离r增大，H值逐渐减小。
结论：H随t增大而减小。
ρ₀·(4/3)πr₀³ = ρ·(4/3)π(2r₀)³ = ρ·(32/3)πr₀³
解得：ρ = (1/8)ρ₀
（2）a．球内质量：M = ρ₀·(4/3)πr₀³
在r₀处的引力势能：Eₚ₁ = −GMm/r₀
在2r₀处的引力势能：Eₚ₂ = −GMm/(2r₀)
动能变化量（仅考虑万有引力做功）：ΔEₖ = −ΔEₚ = Eₚ₁ − Eₚ₂ = −GMm/r₀ + GMm/(2r₀) = −GMm/(2r₀)
代入M得：ΔEₖ = −(2/3)Gπρ₀mr₀²
b．由a知星体的速度随r₀增大而减小。由v = Hr知，当r增大时v增大但增速放缓（因为速度实际随r₀增加而减小）。由于哈勃常数H = v/r，随着时间t推移、距离r增大，H值逐渐减小。
结论：H随t增大而减小。
【章节】力学-万有引力与航天【考点】万有引力定律引力势能宇宙膨胀模型
🔗 引用此试题：
/cards/2024-bj-q19