19．
某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度v₀保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d，不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1） 若不计空气阻力，质量为m、电荷量为−q的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U₁；
（2） 若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为f＝krv，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a 半径为R、电荷量为−q的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U₂；
b 已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为10μm和2.5μm的两种颗粒，若10μm的颗粒恰好100%被收集，求2.5μm的颗粒被收集的百分比。
【答案】（1）U₁＝2md²v₀²/(qL²)
（2）a．U₂＝2kRv₀d²/(qL) b．被收集的百分比为25%
（2）a．U₂＝2kRv₀d²/(qL) b．被收集的百分比为25%
【详解】第（1）问解析
颗粒沿板方向匀速运动，时间 t = L/v₀ ；垂直板方向做匀加速直线运动，加速度 a = qU/md 。恰好全部被收集要求最上端颗粒恰打到下板边缘，即垂直位移 d/2 = 1/2 a t² 。代入得 d/2 = 1/2×qU/md · ( L/v₀ )² ，解得 U = 2md²v₀²/(qL²) 。
第（2）问解析
a. 颗粒经极短时间加速达到最大速度，此时电场力与阻力平衡： q' U'/d = kRv⊥ ，其中 v⊥ 为垂直板方向速度。颗粒在板间运动时间仍为 t = L/v₀ ，垂直位移 d/2 = v⊥ t 。联立得 v⊥ = q'U'/(kRd) ，代入位移关系得 U' = 2mkR²d²v₀²/(q'²L²) 。
b. 由电荷量 q ∝ r² ，设直径为 d₁ 的颗粒半径为 R ，电荷量为 q₀ ；直径为 2d₁ 的颗粒半径为 2R ，电荷量为 4q₀ 。由a问结果，颗粒恰好被收集时 U' ∝ R²/q'² ，代入 q' ∝ R² 得 U' ∝ 1/R² 。当 U' 固定时，能收集的颗粒半径满足 R ≤ Rₘₐₓ 。对 2R 颗粒，其临界电压为原电压的 1/4 ，故实际电压下其垂直位移仅为 d/8 ，收集百分比为 (d/8)/(d/2) = 25\% 。
颗粒沿板方向匀速运动，时间 t = L/v₀ ；垂直板方向做匀加速直线运动，加速度 a = qU/md 。恰好全部被收集要求最上端颗粒恰打到下板边缘，即垂直位移 d/2 = 1/2 a t² 。代入得 d/2 = 1/2×qU/md · ( L/v₀ )² ，解得 U = 2md²v₀²/(qL²) 。
第（2）问解析
a. 颗粒经极短时间加速达到最大速度，此时电场力与阻力平衡： q' U'/d = kRv⊥ ，其中 v⊥ 为垂直板方向速度。颗粒在板间运动时间仍为 t = L/v₀ ，垂直位移 d/2 = v⊥ t 。联立得 v⊥ = q'U'/(kRd) ，代入位移关系得 U' = 2mkR²d²v₀²/(q'²L²) 。
b. 由电荷量 q ∝ r² ，设直径为 d₁ 的颗粒半径为 R ，电荷量为 q₀ ；直径为 2d₁ 的颗粒半径为 2R ，电荷量为 4q₀ 。由a问结果，颗粒恰好被收集时 U' ∝ R²/q'² ，代入 q' ∝ R² 得 U' ∝ 1/R² 。当 U' 固定时，能收集的颗粒半径满足 R ≤ Rₘₐₓ 。对 2R 颗粒，其临界电压为原电压的 1/4 ，故实际电压下其垂直位移仅为 d/8 ，收集百分比为 (d/8)/(d/2) = 25\% 。
🔗 引用此试题：
/cards/2023-bj-q19